设f(x)在[-2,2]上有连续的导数,且f(0)=0,F(x)=∫-xxf(x+t)dt,证明级数F(1/n)绝对收敛.

admin2018-06-15  17

问题 设f(x)在[-2,2]上有连续的导数,且f(0)=0,F(x)=∫-xxf(x+t)dt,证明级数F(1/n)绝对收敛.

选项

答案由于f(x)在[-2,2]上有连续的导数,则|f’(x)|在[-2,2]上连续,设M为|f’(x)|在[-2,2]上的最大值。则x∈[-1,1]时, F(x)=∫-xxf(x+t)dt=∫02xf(u)du=∫02xf(u)d(u-2x) =f(u)(u-2x)|02x-∫02xf’(u)(u-2x)du =-∫02xf’(u)(u-2x)du, 由此可得|F(x)|≤M∫02x(2x-u)du=2Mx2,x∈[-1,1]. 因此|F(1/n)|≤2M/n2(n=1,2,…),由于[*]1/n2收敛,由比较判别法可得[*]|F(1/n)|收敛,即[*]F(1/n)绝对收敛.

解析
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