2. 考研
  3. (2005年)设X1，X2，…，Xn(n＞2)为来自总体N(0，σ2)的简单随机样本，为样本均值，记Yi=Xi-，i=1，2，…，n。 (Ⅰ)求Yi的方差D(Yi)，i=1，2，…，n； (Ⅱ)求Y1与Yn的协方差Cov(Y1，Yn)； (Ⅲ)若c(Y1+

(2005年)设X1，X2，…，Xn(n＞2)为来自总体N(0，σ2)的简单随机样本，为样本均值，记Yi=Xi-，i=1，2，…，n。 (Ⅰ)求Yi的方差D(Yi)，i=1，2，…，n； (Ⅱ)求Y1与Yn的协方差Cov(Y1，Yn)； (Ⅲ)若c(Y1+

admin2021-01-25  29
问题 (2005年)设X1，X2，…，Xn(n＞2)为来自总体N(0，σ2)的简单随机样本，为样本均值，记Yi=Xi-，i=1，2，…，n。
(Ⅰ)求Yi的方差D(Yi)，i=1，2，…，n；
(Ⅱ)求Y1与Yn的协方差Cov(Y1，Yn)；
(Ⅲ)若c(Y1+Yn)2是σ2的无偏估计量，求常数c。
选项
答案由题设，知X1，X2，…，Xn(n＞2)相互独立，且 E(Xi)=0，D(Xi)=σ2(i=1，2，…，n)，[*]=0。 (Ⅰ)Yi=Xi-[*]Xj， [*] (Ⅱ)Cov(Y1，Yn)=Cov(X1-[*]，Xn-[*]) =Cov(X1，Xn)-Cov(X1，[*] 而Cov(X1，Xn)=0， Cov(X1，[*][Cov(X1，X1)+Cov(X1，X2)+…+Cov(X1，Xn)] =[*]D(X1)=σ2／n， 同理Cov(Xn，[*])=σ2／n。 [*] 故 Cov(Y1，Yn)=-2σ2／n+σ2／n=-σ2／n (Ⅲ)E[c(Y1+Yn)2]=cD(Y1+Yn) =c[D(Y1)+D(Yn)+2Cov(Y1，Yn)] [*] 故 [*]
解析
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考研数学三

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