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下述命题 ①设f(x)在任意的闭区间[a,b]上连续,则f(x)在(一∞,+∞)上连续; ②设f(x)在任意的闭区间[a,b]上有界,则f(x)在(一∞,+∞)上有界; ③设f(x)在(一∞,+∞)上为正值的连续函数,则在(一∞,+∞)上也是正值的连续函数
下述命题 ①设f(x)在任意的闭区间[a,b]上连续,则f(x)在(一∞,+∞)上连续; ②设f(x)在任意的闭区间[a,b]上有界,则f(x)在(一∞,+∞)上有界; ③设f(x)在(一∞,+∞)上为正值的连续函数,则在(一∞,+∞)上也是正值的连续函数
admin
2016-04-14
30
问题
下述命题
①设f(x)在任意的闭区间[a,b]上连续,则f(x)在(一∞,+∞)上连续;
②设f(x)在任意的闭区间[a,b]上有界,则f(x)在(一∞,+∞)上有界;
③设f(x)在(一∞,+∞)上为正值的连续函数,则
在(一∞,+∞)上也是正值的连续函数;
④设f(x)在(一∞,+∞)上为正值的有界函数,则
在(一∞,+∞)上也是正值的有界函数.
其中正确的个数为( )
选项
A、1.
B、2.
C、3.
D、4.
答案
B
解析
①与③是正确的,②与④是不正确的,理由如下:
①是正确的.设x
0
∈(一∞,+∞),则它必含于某区间[a,b]中,由于题设f(x)在任意闭区间[a,b]上连续,故在x
0
处连续,所以在(一∞,+∞)上连续.论证的关键之处是:函数f(x)的连续性是按点来讨论的,在区间上每一点处连续,就说它在该区间上连续.
③是正确的.设x
0
∈(一∞,+∞),则f(x
0
)>0,且在x
0
处连续.由连续函数的四则运算法则知,
在x
0
处也连续,所以
且在(一∞,+∞)上连续.②是不正确的.反例:设f(x)=x,在区间
这个界与[a,b]有关,容易看出,在区间(一∞,+∞)上f(x)=x就无界了.
④是不正确的.反例:f(x)=e
x2
,在区间(一∞,+∞)上0<f(x)≤1,所以f(x)在(一∞,+∞)上为正值的有界函数,而
在(一∞,+∞)上无界,这是因为当x→±∞时,
故应选(B).
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考研数学一
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