设奇函数f(χ)在[－1，1]上二阶可导，且f(1)＝1，证明： (1)存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝1； (2)存在η∈(－1，1)，使得f〞(η)＋f′(η)＝1．

admin2019-08-12 38

问题设奇函数f(χ)在[－1，1]上二阶可导，且f(1)＝1，证明：
(1)存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝1；
(2)存在η∈(－1，1)，使得f〞(η)＋f′(η)＝1．

选项

答案(1)令h(χ)＝f(χ)－χ，因为f(χ)在[－1，1]上为奇函数，所以f(0)＝0，从而h(0)＝0，h(1)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得h′(ξ)＝0，而h′(χ)＝f′(χ)－1，故ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝1． (2)令φ(χ)＝e^χ[f′(χ)－1]，因为f(χ)为奇函数，所以f′(χ)为偶函数，由f′(ξ)＝1得f′(－ξ)＝1．因为φ(－ξ)＝φ(ξ)，所以存在η∈(－ξ，ξ)[*](－1，1)，使得φ′(η)＝0，而φ′(χ)＝e^χ[f〞(χ)＋f′(χ)－1]且e^χ≠0，故f〞(η)＋f′(η)＝1．

解析

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考研数学二

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设奇函数f(χ)在[－1，1]上二阶可导，且f(1)＝1，证明： (1)存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝1； (2)存在η∈(－1，1)，使得f〞(η)＋f′(η)＝1．

考研数学二

交换积分次序

方程=0的全部根是_______．

设4阶方阵A=[α，γ2，γ3，γ4]，B=[β，γ2，γ3，γ4]，其中α，β，γ2，γ3，γ4都是4维列向量，且｜A｜=4，｜B｜=1，则｜A+B｜=_______．

(12)已经知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2．(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)求正交变换x=QY将f化为标准形．

设c1，c2，…，cn均为非零实常数，A=(aij)n×n为正定矩阵，令bij=aijcicj(i，j=1，2，…，n)，矩阵B=(bij)n×n，证明矩阵B为正定矩阵．

设A、B均为n阶矩阵，且AB=A-B，A有n个互不相同的特征值λ1，λ2，…，λn，证明：(1)λi≠-1(i=1，2，…，n)；(2)AB=BA；(3)A的特征向量都是B的特征向量；(4)B可相似对角化．

设函数f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0．将曲线y=f(x)，x=1，x=a(a>1)及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周得旋转体体积为求：f(x)；

已知方程组及方程组(Ⅱ)的通解为k1[一1，1，1，0]T+k2[2，一1，0，1]T+[一2，一3，0，0]T，k1，k2为任意常数．求方程组(I)，(Ⅱ)的公共解．

求函数y=excosx的极值．

设数列则当n→∞时，xn是

简述竞争对手分析的四个方面。

为患者进行吸痰时不妥的是()。

女性，50岁。因患短肠综合征，予全胃肠外营养(1FPN)治疗。应用l周时患者出现昏迷，但尿内无酮体。患者既往曾有空腹血糖高(11mmol／L)病史。此瘸的预防主要是

下列属于热原污染途径的错误说法的是()

现场施工准备的质量控制中关于施工图纸的现场核对，应核对(　　)。

申请领取施工许可证，应当具备下列条件：(　　)。

在拟订航次租船合同条款时，为什么代理人的经纪人必须列明委托人的名称、住址或主要营业场所地址?

纳税人不能提供完整、准确的收入及成本、费用凭证，不能正确计算其应纳税所得额的，由税务机关核定其应纳税所得额。核定的方法有(　　)。

按照通信专业划分，通信业务资费主要包括()。

设奇函数f(χ)在[－1，1]上二阶可导，且f(1)＝1，证明： (1)存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝1； (2)存在η∈(－1，1)，使得f〞(η)＋f′(η)＝1．

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设4阶方阵A=[α，γ2，γ3，γ4]，B=[β，γ2，γ3，γ4]，其中α，β，γ2，γ3，γ4都是4维列向量，且｜A｜=4，｜B｜=1，则｜A+B｜=_______．

(12)已经知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2．(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)求正交变换x=QY将f化为标准形．

设c1，c2，…，cn均为非零实常数，A=(aij)n×n为正定矩阵，令bij=aijcicj(i，j=1，2，…，n)，矩阵B=(bij)n×n，证明矩阵B为正定矩阵．

设A、B均为n阶矩阵，且AB=A-B，A有n个互不相同的特征值λ1，λ2，…，λn，证明：(1)λi≠-1(i=1，2，…，n)；(2)AB=BA；(3)A的特征向量都是B的特征向量；(4)B可相似对角化．

设函数f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0．将曲线y=f(x)，x=1，x=a(a>1)及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周得旋转体体积为求：f(x)；

已知方程组及方程组(Ⅱ)的通解为k1[一1，1，1，0]T+k2[2，一1，0，1]T+[一2，一3，0，0]T，k1，k2为任意常数．求方程组(I)，(Ⅱ)的公共解．

求函数y=excosx的极值．

设数列则当n→∞时，xn是

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女性，50岁。因患短肠综合征，予全胃肠外营养(1FPN)治疗。应用l周时患者出现昏迷，但尿内无酮体。患者既往曾有空腹血糖高(11mmol／L)病史。此瘸的预防主要是

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在拟订航次租船合同条款时，为什么代理人的经纪人必须列明委托人的名称、住址或主要营业场所地址?

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