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  3. 设A是秩为r的n阶实对称矩阵，满足A4－3A3＋3A2－2A＝0，则矩阵A的n个特征值是_______．

设A是秩为r的n阶实对称矩阵，满足A4－3A3＋3A2－2A＝0，则矩阵A的n个特征值是_______．

admin2019-05-12  23
问题 设A是秩为r的n阶实对称矩阵，满足A4－3A3＋3A2－2A＝0，则矩阵A的n个特征值是_______．
选项
答案2(r重)，0(n－r重)．
解析 设A是矩阵A的任一特征值，α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，即Aα＝Aλ，α≠0．那么，Anα＝λnα．于是有
    (A4－3A3＋3A2－2A)α＝(λ4－3λ3＋3λ2－2λ)α＝0．
    从而λ4－3λ3＋3λ2－2λ＝0，即λ(λ－2)(λ2－λ＋1)＝0．
    因为实对称矩阵的特征值必为实数，所以矩阵A的特征值只能是2或0．又因为实对称矩阵必可相似对角化，故

    而r(A)＝r(A)＝r，从而矩阵A的特征值是2(r重)，0(n－r重)．
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考研数学一

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