2. 考研
  3. [2015年] 设函数f(x)=x+a ln(1+x)+bx sinx，g(x)=kx3，若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小，求a，b，k的值．

[2015年] 设函数f(x)=x+a ln(1+x)+bx sinx，g(x)=kx3，若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小，求a，b，k的值．

admin2019-04-05  55
问题 [2015年]  设函数f(x)=x+a ln(1+x)+bx sinx，g(x)=kx3，若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小，求a，b，k的值．
选项
答案 考虑到g(x)=kx3为x的三阶无穷小，可将f(x)展为三阶无穷小，求其待定常数，即将ln(1+x)及sinx分别展为 ln(1+x)=x一[*]+o(x3)，即x—ln(1+x)一[*](x→0)； sinx=x－[*]+0(x3)， 即x—sinx～[*](x→0)． 将[*]转化为求x→0时有理多项式的极限． 解一 将ln(1+x)及sinx的上述麦克劳林级数展开式代入f(x)得到 f(x)=x+a[x一[*]+o(x3)]+bx[x一[*]+o(x3)] =x+ax一[*]+a·o(x3)+bx2一[*]+b·o(x4) =x+ax一[*]+a·o(x3)+bx2 =(1+a)x+(b一[*])x2+[*]+o(x3)． 由[*]=1，得到 1+a=0， b一[*]=0．[*]=1． 解之即得 a=—1．b=—[*]．k=—[*] 解二 也可直接利用下述等价无穷小： x一ln(1+x)一[*](x→0)或ln(1+x)一x+[*](x→0)， x－sinx～[*](x－0)求之．为此将f(x)恒等变形为 f(x)一x+a[1n(1+x)一x+[*]]－bx[x－sinx－x] 则[*] 故[*]=1， l+a=0， b一[*]=0． 即 a=一1. [*]
解析
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考研数学二

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