已知A为三阶方阵,A2—A—2E=D,且0<|A|<5,则|A+2E|=________。

admin2017-01-21  54

问题 已知A为三阶方阵,A2—A—2E=D,且0<|A|<5,则|A+2E|=________。

选项

答案4

解析 设A的特征值λi对应的特征向量是xi(xi≠0,i=1,2,3),则Axi=λxi
由A2—A—2E=0可知,特征向量xi满足(A2—A—2E)xi=0,从而有λi2一λi—2=0,解
得λi=—1或λi=20再根据|A|=λ1λ2λ3及0<|A|<5可得,λ12=—1,λ3=2。
由Axi=Axi可得(A+2E)xi=(λi+2)xi,即A+2E的特征值μi(i=1,2,3)满足μii+2,所以μ12=1,μ3=4,故|A+2E|=1×1×4=4。
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