2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．

admin2018-05-23  22
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．
选项
答案令φ(x)=∫axf(t)dt∫bxg(t)dt，显然φ(x)在[a，b]上可导，又φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=f(x)∫bxg(t)dt＋g(x)∫axf(t)dt， 所以f(ξ)∫bξg(x)dx+g(ξ)∫aξf(x)dx=0，即f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．
解析 由f(x)∫xbg(t)dt=g(x)∫axf(t)dt得g(x) ∫axf(t)dt+f(x)∫bxg(t)dt=0即∫axf(t)dt∫bxg(t)dt=0，则辅助函数为φ(x)=∫axf(t)dt∫bxg(t)dt．
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