2. 考研
  3. 设曲线y＝y(x)，x∈[0，t]，y(x)≥0。若y＝y(x)在[0，t]上的曲边梯形绕x轴旋转所得的旋转体体积的形心坐标为＝4t／5，求y＝y(x)。

设曲线y＝y(x)，x∈[0，t]，y(x)≥0。若y＝y(x)在[0，t]上的曲边梯形绕x轴旋转所得的旋转体体积的形心坐标为＝4t／5，求y＝y(x)。

admin2020-08-03  30
问题 设曲线y＝y(x)，x∈[0，t]，y(x)≥0。若y＝y(x)在[0，t]上的曲边梯形绕x轴旋转所得的旋转体体积的形心坐标为＝4t／5，求y＝y(x)。
选项
答案解 如右图取旋转体体积微元： [*] dV＝πy2(x)dx， 则旋转体形心坐标[*]应满足 [*] 由题意得到 ∫0txy2(x)dx＝[*] 两边对t求导得到 ty2(t)＝[*] 求导再化简得到[*] 即[*]分离变量解之即得 y＝ct3/2， 即 y＝Cx3/2 (C为任意常数)。
解析 [解题思路]  由形心坐标的积分表示得到y’(x)满足的微分方程，解之即得所求曲线方程y＝y(x)。
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考研数学一

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