2. 考研
  3. 设f(x)在(a，b)内二阶可导，且a＜x1＜x2＜b． (Ⅰ)若x∈(a，b)时f"(x)＞0，则 f(x)＜(x2) (2．17) 对任何x∈(x1，x2)成立； (Ⅱ)若x∈(a，b)时f"(x)＜0，则 f(x

设f(x)在(a，b)内二阶可导，且a＜x1＜x2＜b． (Ⅰ)若x∈(a，b)时f"(x)＞0，则 f(x)＜(x2) (2．17) 对任何x∈(x1，x2)成立； (Ⅱ)若x∈(a，b)时f"(x)＜0，则 f(x

admin2019-03-12  43
问题 设f(x)在(a，b)内二阶可导，且a＜x1＜x2＜b．
    (Ⅰ)若x∈(a，b)时f"(x)＞0，则
    f(x)＜(x2)    (2．17)
对任何x∈(x1，x2)成立；
    (Ⅱ)若x∈(a，b)时f"(x)＜0，则
    f(x)＞(x2)    (2．18)
对任何x∈(x1，x2)成立．
选项
答案因(Ⅰ)与(Ⅱ)的证法类似，下面只证(Ⅰ)．把(2．17)式改写成下面的等价不等式，有 (x2一x)[f(x)一f(x1)]＜(x一x1)[f(x2)一f(x)]， 由拉格朗日中值定理知 (x2一x)[f(x)一f(x1)]=(x2一x)(x一x1)f’(ξ1)，x1＜ξ1＜x， (x一x1)[f(x2)一f(x)]=(x一x1)(x2一x)f’(ξ2)，x＜ξ2＜x2． 由f"(x)＞0知f’(x)单调增加，故f’(ξ1)＜f’(ξ2)，由此即知等价不等式成立，从而(Ⅰ)成立．
解析
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考研数学三

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