利用代换y=将方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简,并求出原方程的通解。

admin2018-08-12  20

问题 利用代换y=将方程y’’cosx一2ysinx+3ycosx=ex化简,并求出原方程的通解。

选项

答案由y=[*]=μsecx,得 ysecx+μsecxtanx, y’’’’secx+2μsecxtanx+μ(secxtan2x+sec3x), 代入原方程y’’cosx一2ysinx+3ycosx=ex,得 μ’’+4μ=ex。 (*) 先求其相应齐次方程的通解。由于其特征方程为λ2+4=0,则特征方程的根为λ=±2i。所以通解为[*]=C1cos2x+C2sin2x(C1,C2为任意常数)。 再求非齐次方程的特解。设其特解为μ*(x)=Aex,代入(*)式,得(Aex)’’+4Aex=Aex+4Aex=5Aex=ex, 解得[*]ex。 故(*)的通解为 μ(x)=C1cos2x+C2sin2x+[*]ex(C1,C2为任意常数)。 所以,原微分方程的通解为 y=[*]。

解析
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