证明曲线Г：x=aetcost，y=aetsint，z=aet与锥面S：x2+y2=z2的各母线(即锥面上点(x，y，z)与顶点的连线)相交的角度相同，其中a为常数．

admin2020-03-05 23

问题证明曲线Г：x=ae^tcost，y=ae^tsint，z=ae^t与锥面S：x²+y²=z²的各母线(即锥面上点(x，y，z)与顶点的连线)相交的角度相同，其中a为常数．

选项

答案曲线Г的参数方程满足x²+y²=z²，于是Г在锥面S上，Г上任一点(x，y，z)处的母线方向l={x，y，z}，切向量 T={x′，y′，z′}={ae^t(cost－sint)，ae^t(cOst+sint)，ae^t}={x－y，x+y，z}．因此[*] 即曲线Г与锥面S的各母线相交的角度相同．

解析先求Г的切向量T={x′(t)，y′(t)，z′(t)}以及锥面上点(x，y，z)的母线方向，即它与锥的顶点(0，0，0)的连线方向l=(x，y，z)，最后考察cos(T，l)．

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