求二阶微分方程y〞＋yˊ－ex＝0的通解

admin2019-08-30 23

问题求二阶微分方程y〞＋yˊ－e^x＝0的通解

选项

答案此微分方程属于y〞＝f（x，yˊ）型，令p＝yˊ，代入原方程得pˊ＋p－e^x＝0，即pˊ＋p＝e^x，该方程对应的齐次微分方程为pˊ＋p＝0，分离变量并积分dp／p＝－dx，p＝C₁e^－x，利用常数变易法，令p＝u(x)e^－x，则pˊ＝uˊ(x)e^－x－u(x)e^－x，将pˊ及p代入微分方程pˊ＋ p＝e^x得，uˊ(x)e^－x＝e^x，即uˊ(x)＝e^2x，积分得u(x)＝1／2e^2x＋C₁，则p＝（1／2e^2x＋C₁）e^－x＝1／2e^x＋C₁e^－x．即yˊ＝1／2e^x＋C₁e^－x．则原微分方程的通解为y＝1／2e^x－C₁e^－x＋C₂．

解析

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高等数学（工本）

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