设A是n阶矩阵,下列结论正确的是( ).

admin2017-03-06  29

问题 设A是n阶矩阵,下列结论正确的是(    ).

选项 A、设r(A)=r,则A有r个非零特征值,其余特征值皆为零
B、设A为非零矩阵,则A一定有非零特征值
C、设A为对称矩阵,A2=2A,r(A)=r,则A有r个特征值为2,其余全为零
D、设A,B为对称矩阵,且A,B等价,则A,B特征值相同

答案C

解析 取A=,显然A的特征值为0,0,1,但r(A)=2,(A)不对;
    设A=,显然A为非零矩阵,但A的特征值都是零,B项不对;
    两个矩阵等价,则两个矩阵的秩相等,但特征值不一定相同,D项不对;故选C.
    事实上,令AX=λX,由A2=2A得A的特征值为0或2,因为A是对称矩阵,所以A一定可对角化,由r(A)=r得A的特征值中有r个2,其余全部为零.
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