设A是n阶矩阵，下列结论正确的是( )．

admin2017-03-06 29

问题设A是n阶矩阵，下列结论正确的是( )．

选项 A、设r(A)＝r，则A有r个非零特征值，其余特征值皆为零
B、设A为非零矩阵，则A一定有非零特征值
C、设A为对称矩阵，A²＝2A，r(A)＝r，则A有r个特征值为2，其余全为零
D、设A，B为对称矩阵，且A，B等价，则A，B特征值相同

答案C

解析取A＝

，显然A的特征值为0，0，1，但r(A)＝2，(A)不对；
设A＝

，显然A为非零矩阵，但A的特征值都是零，B项不对；
两个矩阵等价，则两个矩阵的秩相等，但特征值不一定相同，D项不对；故选C．
事实上，令AX＝λX，由A²＝2A得A的特征值为0或2，因为A是对称矩阵，所以A一定可对角化，由r(A)＝r得A的特征值中有r个2，其余全部为零．

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