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[2003年]设函数f(x)连续且恒大于零， 其中Ω(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}． 证明当t＞0时，F(t)＞(2／π)G(t)．
[2003年]设函数f(x)连续且恒大于零， 其中Ω(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}． 证明当t＞0时，F(t)＞(2／π)G(t)．
admin
2019-04-08
32
问题
[2003年]设函数f(x)连续且恒大于零，
其中Ω(t)={(x，y，z)｜x
2
+y
2
+z
2
≤t
2
}，D(t)={(x，y)｜x
2
+y
2
≤t
2
}．
证明当t＞0时，F(t)＞(2／π)G(t)．
选项
答案
F(t)一[*]=2{∫
0
t
f(r
2
)r
2
dr∫
0
t
f(r
2
)dr—[∫
0
t
f(r
2
)rdr]
2
}／[∫
0
1
f(r
2
)dr∫
0
1
rf(r
2
)dr]． 令g(t)=∫
0
t
f(r
2
)r
2
dr∫
0
t
f(r
2
)dr一[∫
0
t
rf(r
2
)dr]
2
，则g(0)=0．又因f(x)恒大于零，有 g’(t)=f(t
2
)t
2
∫
0
t
f(r
2
)dr+f(t
2
)∫
0
t
f(r
2
)r
2
dr一2f(t
2
)t∫
0
t
f(r
2
)rdr =f(t
2
)[∫
0
t
f(t
2
)t
2
dr+∫
0
t
f(r
2
)r
2
dr—2∫
0
t
f(r
2
)rtdr] =f(t
2
)∫
0
t
f(t
2
)(t
2
一2rt+r
2
)dr =f(t
2
)∫
0
t
f(t
2
)(t一r)
2
dr＞0． 故g(t)在(0，+∞)内单调增加，又g(0)=0，所以当t＞0时有g(t)＞0，又∫
0
t
f(r
2
)dr∫
0
1
rf(r
2
)dr＞0，故当t＞0时 [*] 即[*]
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/LioRFFFM
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考研数学一
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