2. 考研
  3. 已知线性方程组 的通解是(2，1，0，3)T+k(1，一1，2，0)T，如令αi=(ai，bi，ci，di)T(i=1，2，3，4，5)，试问： (I)α1能否由α2，α3，α4线性表示； (Ⅱ)α4能否由α1，α2，α3线性表示，并说明理由。

已知线性方程组 的通解是(2，1，0，3)T+k(1，一1，2，0)T，如令αi=(ai，bi，ci，di)T(i=1，2，3，4，5)，试问： (I)α1能否由α2，α3，α4线性表示； (Ⅱ)α4能否由α1，α2，α3线性表示，并说明理由。

admin2020-01-12  31
问题 已知线性方程组

的通解是(2，1，0，3)T+k(1，一1，2，0)T，如令αi=(ai，bi，ci，di)T(i=1，2，3，4，5)，试问：
(I)α1能否由α2，α3，α4线性表示；
(Ⅱ)α4能否由α1，α2，α3线性表示，并说明理由。
选项
答案(I)注意到αi为所给方程组的增广矩阵的列向量，将方程组改写成列向量的形式：x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α5，对应的齐次线性方程组为x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0， (*)因为(1，一1，2，0)T为方程组(*)的解，将其代入得到1.α1+(一1)α2+2.α2+0.α4=α1一α2+2α3=0，即α1=α2—2α3+0.α4，因而α1可由α2，α3，α4线性表示。 (Ⅱ)因方程组(*)的基础解系只含有一个解向量，故r(a)=n一1=4—1=3，因而A的列秩等于3。因为α1可由α2，α3，α4线性表示，故3=r([α2,α3,α4])=r([α1,α2,α3,α4])=r([α1，α2，α3])+1，因而α4不能由α1,α2,α3线性表示。
解析
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考研数学三

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