设f(χ)是连续且单调递增的奇函数,设F(χ)=∫0χ(2u-χ)f(χ-u)du,则F(χ)是( )

admin2017-11-30  38

问题 设f(χ)是连续且单调递增的奇函数,设F(χ)=∫0χ(2u-χ)f(χ-u)du,则F(χ)是(    )

选项 A、单调递增的奇函数
B、单调递减的奇函数
C、单调递增的偶函数
D、单调递减的偶函数

答案B

解析 令χ-u=t,则
    F(χ)=∫0χ(χ-2t)f(t)dt,F(-χ)=∫0-χ(-χ-2t)f(t)dt,
    令t=-u,
    F(-χ)=∫0χ(-χ+2u)f(-u)du=∫0χ(χ-2u)f(-u)du。
    因为f(χ)是奇函数,
    f(χ)=-f(-χ),F(-χ)=∫0χ(χ-2u)f(u)du,
    则有F(χ)=-F(-χ)为奇函数。
    F′(χ)=∫0χf(t)dt-χf(χ),
    由积分中值定理可得∫0χf(t)dt=f(ξ)χ,ξ介于0到χ之间,
    F′(χ)=f(ξ)χ-χf(χ)=[f(ξ)-f(χ)]χ,
    因为f(χ)单调递增,当χ>0时,ξ∈[0,χ],f(ξ)-f(χ)<0,所以F′(χ)<0,F(χ)单调递减;当χ<0时,ξ∈[χ,0],f(ξ)-f(χ)>0,所以F′(χ)<0,F(χ)单调递减。所以F(χ)是单调递减的奇函数。
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/LhVRFFFM
0

最新回复(0)