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  3. 设n维列向量α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量β2不可由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k必有( )．

设n维列向量α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量β2不可由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k必有( )．

admin2017-10-25  31
问题 设n维列向量α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量β2不可由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k必有(  )．
选项 A、α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关
B、α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关
C、α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关
D、α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关
答案A
解析 设有一组数字λ1，λ2，λ3，λ4，满足λ1α1+λ2α2+λ3α3+λ4(kβ1+β2)=0，
若λ4=0，则有条件λ1=λ2=λ3=0，从而推出α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关．
若λ4≠0，则kβ1+β2可由α1，α2，α3线性
表示，而β1可由α1，α2，α3线性表示，故β2也可由α1，α2，α3线性表示，矛盾，所以，λ4=0，从而(A)项正确．对于其余三个选项，也可用排除法．
当k=0时，可排除(B)、(C)项；当k=1时，可排除(D)项．
故应选(A)．
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