设A为n阶矩阵，下列命题正确的是 ( )

admin2020-03-01 38

问题设A为n阶矩阵，下列命题正确的是 ( )

选项 A、若α为A^T的特征向量，那么α为A的特征向量
B、若α为A*的特征向量，那么α为A的特征向量
C、若α为A²的特征向量，那么α为A的特征向量
D、若α为2A的特征向量，那么α为A的特征向量

答案D

解析 (1)矩阵A^T与A的特征值相同，但特征向量不一定相同，故(A)错误．
(2)假设α为A的特征向量，λ为其特征值，当λ≠0时α也为A*的特征向量．这是由于 Aα=λα

A*Aα=λA*α

A*α=λ^-1|A|α
但反之，α为A*的特征向量，那么α不一定为A的特征向量．例如：当r(A)＜n一1时，A*=O，此时，任意n维非零列向量都是A*的特征向量，故A*的特征向量不一定是A的特征向量．可知(B)错误．
(3)假设α为A的特征向量，λ为其特征值，则α为A²的特征向量．这是由于 A²α=A(Aα)=λAα=λ²α．
但反之，若α为A²的特征向量，α不一定为A的特征向量．例如：假设Aβ₁=β₁，Aβ₂=一β₂，其中β₁，β₂≠0．此时有A²(β₁+β₂)=A²β₁+A²β₂=β₁+β₂，可知β₁+β₂为A²的特征向量．但β₁，β₂是矩阵A两个不同特征值的特征向量，它们的和β₁+β₂不是A的特征向量．故(C)错误．
(4)若α为2A的特征向量，则存在实数λ使得2Aα=λα，此时有

，因此α为A的特征向量．可知(D)是正确的．故选(D)．

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