解下列微分方程: (Ⅰ) y"一7y’+12y=x满足初始条件y(0)=的特解; (Ⅱ) y"+a2y=8cosbx的通解,其中a>0,b>0为常数; (Ⅲ) y"’+y"+y’+y=0的通解.

admin2018-11-21  59

问题 解下列微分方程:
    (Ⅰ)  y"一7y’+12y=x满足初始条件y(0)=的特解;
    (Ⅱ)  y"+a2y=8cosbx的通解,其中a>0,b>0为常数;
    (Ⅲ)  y"’+y"+y’+y=0的通解.

选项

答案(Ⅰ)对应齐次方程的特征方程为λ2—7λ+12=0,它有两个互异的实根λ1=3与λ2=4,所以,其通解为[*](x)=C1e3x+C2e4x,其中C1与C2是两个任意常数. 由于0不是特征根,所以非齐次微分方程的特解应具有形式y*(x)=Ax+B.代入方程可得A=[*],所以,原方程的通解为y(x)=[*]+C1e3x+C2e4x. 代入初始条件,则得[*] 因此所求的特解为y(x)=[*](e4x一e3x). (Ⅱ)由于对应齐次微分方程的特征根为±ai,所以其通解为y(x)=C1cosax+C2sinax.求原非齐次微分方程的特解,需分两种情况讨论: ①当a≠b时,特解的形式应为Acosbx+Bsinbx,将其代入原方程可得 A=[*],B=0. 所以,通解为y(x)=[*]cosbx+C1cosax+C2sinax,其中C1C2是两个任意常数. ②当a=b时,特解的形式应为Axcosax+Bxsinax,代入原方程可得 A=0.B=[*]. 原方程的通解为y(x)=[*]xsinax+C1cosax+C2sinax,其中C1,C2是两个任意常数. (Ⅲ)这是一个三阶常系数线性齐次方程,其相应的特征方程为λ32+λ+1=0,分解得(λ+1)(λ2+1)=0,其特征根为λ1=一1,λ2,3=±i,所以方程的通解为 y(x)=C1e—x+C2cosx+C3sinx,其中C1,C2,C3为任意常数.

解析
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