设A为三阶矩阵,α1,α2,α3为三维线性无关列向量组,且有Aα1=α2+α3,Aα2=α3+α1,Aα3=α1+α2. (1)求A的全部特征值; (2)A是否可对角化?

admin2016-01-25  30

问题 设A为三阶矩阵,α1,α2,α3为三维线性无关列向量组,且有Aα1=α2+α3,Aα2=α3+α1,Aα3=α1+α2
(1)求A的全部特征值;  
(2)A是否可对角化?

选项

答案(1)由题设知, A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3), A(α2-α1)=Aα2一Aα1=α3+α1一(α2+α3)=一(α2-α1), A(α3-α1)=Aα3一Aα1=α1+α2一(α2+α3)=一(α3-α1). 又因为α1,α2,α3线性无关,所以 α1+α2+α3≠0, α2-α1≠0, α3-α1≠0. 可得一1,2是A的特征值,α2-α1,α3-α1,α1+α2+α3是相应的特征向量. 又由α1,α2,α3线性无关,得α2-α1,α3-α1也线性无关,所以一1是A的二重特征值,即A的全部特征值为一1,一1,2. (2)由α1,α2,α3线性无关可证明α2-α1,α3-α1,α1+α2+α3线性无关. 事实上,由矩阵表示法: [α2-α1,α3-α1,α1+α2+α3]=[α1,α2,α3][*] 而α1,α2,α3线性无关,右边的三阶行列式不等于0,其矩阵可逆,故 α2-α1,α3-α1,α1+α2+α3 线性无关,即矩阵A有三个线性无关的特征向量,故矩阵A为可对角化.

解析 利用所给的向量等式及特征值、特征向量的定义可求出A的全部特征值及三个线性无关的特征向量.
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