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设有四个编号分别为1，2，3，4的盒子和三只球，现将每个球随机地放入四个盒子，记X为至少有一只球的盒子的最小号码． (Ⅰ)求X的分布律； (Ⅱ)若当X＝k时，随机变量Y在[0，k]上服从均匀分布k＝1，2，3，4，求P{Y≤2}．
设有四个编号分别为1，2，3，4的盒子和三只球，现将每个球随机地放入四个盒子，记X为至少有一只球的盒子的最小号码． (Ⅰ)求X的分布律； (Ⅱ)若当X＝k时，随机变量Y在[0，k]上服从均匀分布k＝1，2，3，4，求P{Y≤2}．
admin
2018-11-23
48
问题
设有四个编号分别为1，2，3，4的盒子和三只球，现将每个球随机地放入四个盒子，记X为至少有一只球的盒子的最小号码．
(Ⅰ)求X的分布律；
(Ⅱ)若当X＝k时，随机变量Y在[0，k]上服从均匀分布k＝1，2，3，4，求P{Y≤2}．
选项
答案
(Ⅰ)随机变量X的可能取值为1，2，3，4，设事件A
i
表示第i个盒子是空的(i＝1，2，3，4)，则 P{X＝1}＝1－P(A
1
)＝1－[*]， P{X＝2}＝P(A
1
[*])＝P(A
1
)P([*]｜A
1
)＝[*]， P{X＝3}＝P(A
1
A
2
[*])＝P(A
1
)P(A
2
｜A
1
)P([*]｜A
1
A
2
) ＝[*] P{X＝4}＝P(A
1
A
2
A
3
)＝P(A
1
)P(A
2
｜A
1
)P(A
3
｜A
1
A
2
) ＝[*] 或P{X＝4}＝1－[*]． 于是X的分布律为 [*] (Ⅱ)由于当X＝k时，随机变量Y在[0，k]上服从均匀分布，故 P{Y≤2｜X＝1}＝P{Y≤2｜X＝2}＝1， P{Y≤2｜X＝3}＝[*]，P{Y≤2｜X＝4}＝[*]． 由全概率公式即得 P{Y≤2}＝[*]P{Y≤2，X＝k}＝[*]P{X＝k}P{Y≤2｜X＝k}； ＝[*]
解析
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