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设有四个编号分别为1,2,3,4的盒子和三只球,现将每个球随机地放入四个盒子,记X为至少有一只球的盒子的最小号码. (Ⅰ)求X的分布律; (Ⅱ)若当X=k时,随机变量Y在[0,k]上服从均匀分布k=1,2,3,4,求P{Y≤2}.
设有四个编号分别为1,2,3,4的盒子和三只球,现将每个球随机地放入四个盒子,记X为至少有一只球的盒子的最小号码. (Ⅰ)求X的分布律; (Ⅱ)若当X=k时,随机变量Y在[0,k]上服从均匀分布k=1,2,3,4,求P{Y≤2}.
admin
2018-11-23
41
问题
设有四个编号分别为1,2,3,4的盒子和三只球,现将每个球随机地放入四个盒子,记X为至少有一只球的盒子的最小号码.
(Ⅰ)求X的分布律;
(Ⅱ)若当X=k时,随机变量Y在[0,k]上服从均匀分布k=1,2,3,4,求P{Y≤2}.
选项
答案
(Ⅰ)随机变量X的可能取值为1,2,3,4,设事件A
i
表示第i个盒子是空的(i=1,2,3,4),则 P{X=1}=1-P(A
1
)=1-[*], P{X=2}=P(A
1
[*])=P(A
1
)P([*]|A
1
)=[*], P{X=3}=P(A
1
A
2
[*])=P(A
1
)P(A
2
|A
1
)P([*]|A
1
A
2
) =[*] P{X=4}=P(A
1
A
2
A
3
)=P(A
1
)P(A
2
|A
1
)P(A
3
|A
1
A
2
) =[*] 或P{X=4}=1-[*]. 于是X的分布律为 [*] (Ⅱ)由于当X=k时,随机变量Y在[0,k]上服从均匀分布,故 P{Y≤2|X=1}=P{Y≤2|X=2}=1, P{Y≤2|X=3}=[*],P{Y≤2|X=4}=[*]. 由全概率公式即得 P{Y≤2}=[*]P{Y≤2,X=k}=[*]P{X=k}P{Y≤2|X=k}; =[*]
解析
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