2. 考研
  3. 设A为n阶方阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明：r(A*)=

设A为n阶方阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明：r(A*)=

admin2021-01-15  0
问题 设A为n阶方阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明：r(A*)=
选项
答案当r(A)=n时，｜A｜≠0，｜A*｜=｜A｜n—1≠0，即知r(A*)=n；当r(A)=n一1时，A中非零子式的最高阶数为n一1，一方面有A*≠O，→r(A*)≥1，另一方面有｜A｜=0，→A*A=｜A｜E=O．故A的每一列都是方程组A*x=0的解向量，r(A)=n一1说明A*x=0至少有n一1个线性无关解向量，故n一r(A*)≥n一1，→r(A*)≤1，以上两方面说明r(A*)=1；当r(A)＜n一1时，A中每个n一1阶子式一即A的每个元素的余子式都为零，→A*=O，从而有r(A*)=0．
解析
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考研数学一

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