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  3. 设y1＝2x＋ex＋e2x，y2＝2x＋ex，y3＝－ex＋e2x＋2x都是某二阶常系数线性齐次方程的解，则此方程为( )。

设y1＝2x＋ex＋e2x，y2＝2x＋ex，y3＝－ex＋e2x＋2x都是某二阶常系数线性齐次方程的解，则此方程为( )。

admin2020-03-08  13
问题 设y1＝2x＋ex＋e2x，y2＝2x＋ex，y3＝－ex＋e2x＋2x都是某二阶常系数线性齐次方程的解，则此方程为(     )。
选项 A、y"＋3y’＋2y＝2x
B、y"－3y’＋2y＝4x－6
C、y"－3y’＋2y＝x
D、y"＋3y’＋2y＝x
答案B
解析 [解题思路]  先求对应的齐次方程，为此先求出其通解、特征方程，再用特解代入法求出非齐次项。
    解  因y1，y2，y3均为非齐次方程的解，则y1－y2＝e2x，y1－y3＝2e2x是相应的齐次方程的解，因此r1＝2，r2＝1为特征方程的根，特征方程为
    (r－2)(r－1)＝0，  即  r2－3r＋2＝0，
所以齐次方程为    y"－3y’＋2y＝0。
    设所求方程为y"－3y’＋2y＝f(x)，f(x)为非齐次项，将y2＝2x＋ex代入得
    f(x)＝4x－6，
则y"－3y’＋2y＝4x－6，仅(B)入选。
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