2. 考研
  3. 设A=E+αβT，其中α=[a1，a2，…，a2]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=2． 求A的特征值和特征向量；

设A=E+αβT，其中α=[a1，a2，…，a2]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=2． 求A的特征值和特征向量；

admin2018-09-25  18
问题 设A=E+αβT，其中α=[a1，a2，…，a2]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=2．
求A的特征值和特征向量；
选项
答案设 (E+αβT)ξ=λξ． ① ①式两端左边乘βT得，βT(E+αβT)ξ=(βT+βTαβT)ξ=(1+βTα)βTξ=λβTξ， 若βTξ≠0，则λ=1+βTα=3；若βTξ=0，则由①式，得λ=1． 当λ=1时， (E－A)X=－αβTX= [*] [b1，b2，…，bn]X=0， 即[b1，b2，…，bn]X=0，因α≠0，β≠0，设b1≠0，则 ξ1=[b2，－b1，0，…，0]T，ξ2=[b3，0，－b1，…，0]T，…，ξn－1=[bn，0，…，0，－b1]T； 当λ=3时， (3E－A)X=(2E－αβT)X=0， ξn=α=[a1，a2，…，an]T．
解析
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考研数学一

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