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(1)设,y’(1)=0.计算变限积分 ∫1x[t2y’’(t)+4(t+1)y’(t)+2y(t)]dt, 使得结果中不含y’’(x),也不含积分号; (2)求微分方程 x2y’’(x)+4(x+1)y’(x)+2y(x)=x∈(0,+∞) 满足初始条件
(1)设,y’(1)=0.计算变限积分 ∫1x[t2y’’(t)+4(t+1)y’(t)+2y(t)]dt, 使得结果中不含y’’(x),也不含积分号; (2)求微分方程 x2y’’(x)+4(x+1)y’(x)+2y(x)=x∈(0,+∞) 满足初始条件
admin
2018-09-25
27
问题
(1)设
,y’(1)=0.计算变限积分
∫
1
x
[t
2
y’’(t)+4(t+1)y’(t)+2y(t)]dt,
使得结果中不含y’’(x),也不含积分号;
(2)求微分方程
x
2
y’’(x)+4(x+1)y’(x)+2y(x)=
x∈(0,+∞)
满足初始条件
,y’(1)=0的特解.
选项
答案
(1)由分部积分, ∫
1
x
[t
x
y’’(t)+4(t+1)y’(t)+2y(t)]dt =∫
1
x
t
2
dy’(t)+4∫
1
x
(t+1)dy(t)+2∫
1
x
y(t)dt =t
2
y’(t)|
1
x
-2∫
1
x
ty’(t)dt+4(t+1)y(t)|
1
x
-4∫
1
x
y(t)dt+2∫
1
x
y(t)dx =x
2
y’(x)-y’(1)-2∫
1
x
tdy(t)+4(x+1)y(x)-8y(1)-2∫
1
x
y(t)dt =x
2
y’(x)-2ty(t)|
1
x
+2∫
1
x
y(t)dt+4(x+1)y(x)+[*]-2∫
1
x
y(t)dt =x
2
y’(x)+2xy(x)+4y(x)+1. (2)将方程 x
2
y’’(x)+4(x+1)y’(x)+2y(x)=[*] 两边对x积分,从x=1到x=x,由(1),得 [*] 此为一阶线性微分方程,由通解公式, [*] 所以通解为 [*] 因为x=1时, [*] 故所求的特解为 [*]
解析
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