设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为S1,它们与直线x=1所围成的图形 面积为S2,且a<1. (1)确定a,使S1+S2达到最小,并求出最小值; (2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

admin2020-03-10  79

问题 设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为S1,它们与直线x=1所围成的图形
面积为S2,且a<1.
(1)确定a,使S1+S2达到最小,并求出最小值;
(2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

选项

答案(1)直线y=ax与抛物线y=x2的交点为(0,0),(a,a2). 当0<a<1时,S=S1+S2=∫0a(ax-x2)dx+∫a1(x2)dx=[*] 令S’=a2-[*]时,S1+S2取到最小 值,此时最小值为[*]. 当a≤0时,S=∫a0(ax-x2)dx+∫01(x2-ax)dx=[*], 因为S’=[*](a2+1)<0,所以S(a)单调减少,故a=0时S1+S2取最小值,而S(0) [*]时,S1+S2最小. (2)旋转体的体积为Vx=[*].

解析
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