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设f(χ)是周期为3的连续函数,f(χ)在点χ=1处可导,且满足恒等式 f(1+tanχ)-4f(1-3tanχ)=26χ+g(χ), 其中g(χ)当χ→0时是比χ高阶的无穷小量.求曲线y=f(χ)在点(4,f(4))处的切线方程.
设f(χ)是周期为3的连续函数,f(χ)在点χ=1处可导,且满足恒等式 f(1+tanχ)-4f(1-3tanχ)=26χ+g(χ), 其中g(χ)当χ→0时是比χ高阶的无穷小量.求曲线y=f(χ)在点(4,f(4))处的切线方程.
admin
2018-06-12
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问题
设f(χ)是周期为3的连续函数,f(χ)在点χ=1处可导,且满足恒等式
f(1+tanχ)-4f(1-3tanχ)=26χ+g(χ),
其中g(χ)当χ→0时是比χ高阶的无穷小量.求曲线y=f(χ)在点(4,f(4))处的切线方程.
选项
答案
曲线y=f(χ)在点(4,f(4))处的切线方程是 y=f(4)+f′(4)(χ-4). 由f(χ)的周期性以及f(χ)在χ=1处的可导性知f(4)=f(1),f′(4):f′(1),代入即得所求切线方程为 y=f(1)+f′(1)(χ-4). 由f(χ)的连续性可知 [*][f(1+tanχ)-4f(1-3tanχ)]=[*][26χ+g(χ)] [*]f(1)-4f(1)=0[*]f(1)=0. 再由f(χ)在χ=1处的可导性与f(1)=0可得 [*] 在①式左端中作换元tanχ=t,则有 [*] 而①式右端 [*] 从而有f′(1)=2. 于是曲线y=f(χ)在点(4,f(4))处的切线方程为y=2(χ-4),即y=2χ-8.
解析
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考研数学一
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