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  3. 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明：(1)若｜A｜＝0，则｜A*｜＝0；(2)｜A*｜＝｜A｜n﹣1．

设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明：(1)若｜A｜＝0，则｜A*｜＝0；(2)｜A*｜＝｜A｜n﹣1．

admin2020-06-05  45
问题 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明：(1)若｜A｜＝0，则｜A*｜＝0；(2)｜A*｜＝｜A｜n﹣1．
选项
答案(1)由于AA*＝A*A＝｜A｜E＝0，若｜A*｜≠0，则A*可逆，进而A＝AA*(A*)﹣1＝0．故｜A｜的所有n－1阶余子式均为零，即A*＝0，这与A*可逆矛盾．因此｜A*｜＝0． (2)若｜A｜＝0，显然｜A*｜＝0＝｜A｜n－1；若｜A｜≠0，则｜AA*｜＝｜｜A｜E｜＝｜A｜n，即｜A*｜＝｜A｜n－1．
解析
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考研数学一

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