设A=E一ααT,其中α为n维非零列向量.证明: (1)A2=A的充分必要条件是α为单位向量; (2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵.

admin2017-11-13  32

问题 设A=E一ααT,其中α为n维非零列向量.证明:
    (1)A2=A的充分必要条件是α为单位向量;
    (2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵.

选项

答案(1)令αTα=k,则A2=(E一ααT)(E一ααT)=E一2ααT+kααT,因为a为非零向量,所以ααT≠O,于是A2=A的充分必要条件是k=1,而αTα=|α|2,所以A2=A的充要条件是α为单位向量. (2)当α是单位向量时,由A2=A得r(A)+r(E一A)=n,因为E一A=ααT≠O,所以r(E—A)≥1,于是r(A)≤n一1<n,故A是不可逆矩阵.

解析
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