设α,β为n维单位列向量,P是n阶可逆矩阵,则下列矩阵中可逆的是 ( )

admin2018-09-25  21

问题 设α,β为n维单位列向量,P是n阶可逆矩阵,则下列矩阵中可逆的是    (    )

选项 A、A=E=ααT
B、B=αTPαP-1-ααT
C、C=αTP-1βP-βαT
D、D=E+ββT

答案D

解析 方法一  对矩阵D=E+ββT,有
    D2=(E+ββT)2=E+2ββT+ββTββT(其中ββT=1)
    =E+3ββT=3(E+ββT)-2E=3D-2E,
    D2-3D=D(D-3E)=-2E,
故D可逆,且D-1=(D-3E),故应选D.
    方法二  利用齐次方程组是否有非零解判别.
    因Ax=(E-ααT)x=0,当x=α≠0时,有
    (E-ααT)α=α-α(αTα)=0(其中αTα=1),
故排除A.
    因Bx=(αTPαP-1-ααT)x=0,当x=Pα≠0时,有
TPαP-1-ααT)Pα=(αTPα)(P-1P)α-α(αTPα)=(αTPα)α-α(αTPα)=0(其中αTPα是数).
故排除B.
因Cx=(αTP-1βP-βαT)x=0,取x=P-1β≠0,有
    (αTP-1β)β-β(αTP-1β)=0(其中αTP-1β是数).
故排除C.由排除法,故应选D.
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