设E是n阶单位矩阵,E+A是n阶可逆矩阵,则下列关系式中不恒成立的是( )

admin2019-01-24  29

问题 设E是n阶单位矩阵,E+A是n阶可逆矩阵,则下列关系式中不恒成立的是(    )

选项 A、(E-A)(E+A)2=(E+A)2(E-A).
B、(E-A)(E+A)T=(E+A)T(E-A).
C、(E-A)(E+A)-1=(E+A)-1(E-A).
D、(E-A)(E+A)*=(E+A)*(E-A).

答案B

解析 因EA=AE=A,AA2=A2A=A3,AA-1=A-1A=E,AA*=A*A=|A|E,故知A和E,A2,A-1,A*乘法运算均可交换.
但(E+A)(E+A)T≠(E+A)T(E+A).例如

事实上,(E-A)(E+A)T=[2E-(E+A)](E+A)T≠(E+A)T[2E-(E+A)]=(E+A)T(E-A).
故应选(B).对于(A),(C),(D)均成立.以(C)为例,有
    (E-A)(E+A)-1=[2E-(A+E)](E+A)-1=2E(E+A)-1-(A+E)(A+E)-1
    =(E+A)-12E-(A+E)-1(A+E)=(A+E)-1[2E-(A+E)]
    =(A+E)-1(E-A).
同理,(A),(D)也成立.
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