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  3. 设E是n阶单位矩阵，E＋A是n阶可逆矩阵，则下列关系式中不恒成立的是( )

设E是n阶单位矩阵，E＋A是n阶可逆矩阵，则下列关系式中不恒成立的是( )

admin2019-01-24  29
问题 设E是n阶单位矩阵，E＋A是n阶可逆矩阵，则下列关系式中不恒成立的是(    )
选项 A、(E－A)(E＋A)2＝(E＋A)2(E－A)．
B、(E－A)(E＋A)T＝(E＋A)T(E－A)．
C、(E－A)(E＋A)－1＝(E＋A)－1(E－A)．
D、(E－A)(E＋A)*＝(E＋A)*(E－A)．
答案B
解析 因EA＝AE＝A，AA2＝A2A＝A3，AA－1＝A－1A＝E，AA*＝A*A＝｜A｜E，故知A和E，A2，A－1，A*乘法运算均可交换．
但(E＋A)(E＋A)T≠(E＋A)T(E＋A)．例如，

事实上，(E－A)(E＋A)T＝[2E－(E＋A)](E＋A)T≠(E＋A)T[2E－(E＋A)]＝(E＋A)T(E－A)．
故应选(B)．对于(A)，(C)，(D)均成立．以(C)为例，有
    (E－A)(E＋A)－1＝[2E－(A＋E)](E＋A)－1＝2E(E＋A)－1－(A＋E)(A＋E)－1
    ＝(E＋A)－12E－(A＋E)－1(A＋E)＝(A＋E)－1[2E－(A＋E)]
    ＝(A＋E)－1(E－A)．
同理，(A)，(D)也成立．
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