2. 考研
  3. 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=g’’(ξ)。

设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=g’’(ξ)。

admin2021-11-15  5
问题 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=g’’(ξ)。
选项
答案构造辅助函数F(x)=f(x)-g(x)，由题设有F(a)=F(b)=0。又f(x)，g(x)在(a，b)内具有相等的最大值，不妨设存在x1≤x2，x1，x2∈(a，b)使得 [*] 若x1=x2，令c=x2，则F(c)=0。 若x1＜x2，因F(x1)=f(x1)-g(x1)≥0，F(x2)=f(x2)-g(x2)≤0， 从而存在c∈[x1，x2][*](a，b)，使F(c)=0。 在区间[a，c]，[c，b]上分别利用罗尔定理知，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得 F’(ξ1)=F’(ξ2)=0， 再对F’(x)在区间[ξ1，ξ2]上应用罗尔定理，知存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使F’’(ξ)=0，即 f’’(ξ)=g’’(ξ)。
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/KB3RFFFM
0

考研数学一

相关试题推荐
随机试题
最新回复(0)