二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32-4x1x2-8x1x3-4x2x3经过正交变换化为标准形5y12+6y22-4y32，求： (1)常数a，b；(2)正交变换的矩阵Q．

admin2019-08-28 37

问题二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+ax₂²+x₃²-4x₁x₂-8x₁x₃-4x₂x₃经过正交变换化为标准形5y₁²+6y₂²-4y₃²，求：
(1)常数a，b；(2)正交变换的矩阵Q．

选项

答案(1)令A=[*]，则f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX，矩阵A的特征值为λ₁=5，λ₂=b，λ₃=-4，由 [*] 从而[*]，特征值为λ₁=λ₂=5，λ₃=-4． (2)将λ₁=λ₂=5代入(λE-A)X=0，即(5E-A)X=0，由5E-A=[*]得λ₁=λ₂=5对应的线性无关的特征向量为α₁=[*]，α₂=[*] 将λ₃=-4代入(λE-A)X=0，即(4E+A)X=0，由4E+A=[*]得λ₃=-4对应的线性无关的特征向量为α₃=[*] 令β₁=α₁-[*]，β₂=α₂-[*]，β₃=α₃=[*] 单位化得 [*] 所求的正交变换矩阵为 [*]

解析

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考研数学三

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二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32-4x1x2-8x1x3-4x2x3经过正交变换化为标准形5y12+6y22-4y32，求： (1)常数a，b；(2)正交变换的矩阵Q．

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