设A为n阶矩阵,AT是A的转置矩阵,对于线性方程组(Ⅰ)Aχ=0和(Ⅱ)ATAχ=0,必有( )

admin2016-05-09  40

问题 设A为n阶矩阵,AT是A的转置矩阵,对于线性方程组(Ⅰ)Aχ=0和(Ⅱ)ATAχ=0,必有(    )

选项 A、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解.
B、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解.
C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解.
D、(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解,(Ⅰ)的解也不是(Ⅱ)的解.

答案A

解析 如果α是(Ⅰ)的解,有Aα=0,可得
    ATAα=AT(Aα)=AT0=0,
    即α是(Ⅱ)的解.故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解.
    反之,若α是(Ⅱ),的解,有ATAα=0,用αT左乘可得
    αT(ATAα)=(αTAT)(Aα)=(Aα)T(Aα)=αT0=0,
    若设Aα=(b1,b2,…,bn),那么
    (Aα)T(Aα)=b12+b+22…+bn2=0bi=0(i=1,2,…,n)
    即Aα=0.亦即α是(Ⅰ)的解.因此(Ⅱ)的解也必是(Ⅰ)的解.所以应选A.
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