2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]内连续，且a＜c＜d＜b，证明：在(a，b)内必存在一点ξ，使得等式sf(c)+tf(d)=(s+t)f(ξ)成立，其中s，t为自然数．

设f(x)在[a，b]内连续，且a＜c＜d＜b，证明：在(a，b)内必存在一点ξ，使得等式sf(c)+tf(d)=(s+t)f(ξ)成立，其中s，t为自然数．

admin2021-11-15  3
问题 设f(x)在[a，b]内连续，且a＜c＜d＜b，证明：在(a，b)内必存在一点ξ，使得等式sf(c)+tf(d)=(s+t)f(ξ)成立，其中s，t为自然数．
选项
答案当a＜c＜d＜b时，不妨设f(c)≤f(d)．对于任意自然数s，t，有 (5+t)f(c)≤sf(c)+tf(d)≤(s+t)f(d) 两边同时除以(s+t)，得 [*] 由于f(x)在[a，b]内连续，而[c，d][*](a，b)，所以f(x)在[c，d]上连续，由闭区间上连续函数的介值定理可得，在[c，d]内存在一点ξ，使得 [*] 两边同时乘以(s+t)，得 sf(c)+tf(d)=(s+t)f(ξ) 又由于[c，d][*](a，b)，所以在(a，b)内必存在一点ξ，使得等式sf(c)+tf(d)=(s+t)f(ξ)成立．
解析
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考研数学一

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