已知A是3阶矩阵，αi(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aαi=iαi(i=1，2，3)，令 α=α1+α2+α3 (Ⅰ)证明：α，Aα，A2α线性无关； (Ⅱ)设P=(α，Aα，A2α)，求P－1AP．

admin2015-05-07 47

问题已知A是3阶矩阵，α_i(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aα_i=iα_i(i=1，2，3)，令
α=α₁+α₂+α₃
(Ⅰ)证明：α，Aα，A²α线性无关；
(Ⅱ)设P=(α，Aα，A²α)，求P^－1AP．

选项

答案(Ⅰ)由Aα₁=α₁，Aα₂=2α₂，Aα₃=3α₃，且α₁，α₂，α₃非零可知，α₁，α₂，α₃ 是A的不同特征值的特征向量，故α₁，α₂，α₃线性无关．又Aα=α₁+2α₂+3α₃，Aα=α₁+4α₂+9α₃，若k₁α+k₂Aα+k₃Aα=0，即 k₁(α₁+α₂+α₃)+k₂(α₁+2α₂+3α₃)+k₃(α₁+4α₂+9α₃) =0，则 (k₁+k₂+k₃)α₁+(k₁+2k₂+4k₃)α₂+(k₁+3k₂+9k₃)α₃=0．由α₁，α₂，α₃线性无关，得齐次线性方程组 [*] 因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0，所以必有k₁=k₂=k₃=0，即α，Aα，A²α线性无关． (Ⅱ)因为A³α=α₁+8α₂+27a₃=6α－11Aα+6A²α，所以 AP=A(α，Aα，A²α) =(Aα，A²α，6α－11Aα+6A²α)=(α，Aα，A²)[*] 故P^－1AP=[*]

解析

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考研数学一

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已知A是3阶矩阵，αi(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aαi=iαi(i=1，2，3)，令 α=α1+α2+α3 (Ⅰ)证明：α，Aα，A2α线性无关； (Ⅱ)设P=(α，Aα，A2α)，求P－1AP．

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