设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1。证明: (Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1; (Ⅱ)存在η∈(-1,1),使得f"(η)+f’(η)=1。

admin2018-04-14  43

问题 设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1。证明:
(Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1;
(Ⅱ)存在η∈(-1,1),使得f"(η)+f’(η)=1。

选项

答案(Ⅰ)由于f(x)为奇函数,则f(0)=0,由于f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=[*]=1。 (Ⅱ)由于f(x)为奇函数,则f’(x)为偶函数,由(Ⅰ)可知存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1,且f’(-ξ)=1。 令φ(x)=ex[f’(x)-1],由条件可知φ(x)在[-1,1]上可导,且φ(-ξ)=φ(ξ)=0,由罗尔定理可知,存在η∈(-ξ,ξ)[*](-1,1),使得φ’(η)=0,其中eη≠0,即有f"(η)+f’(η)=1。

解析
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