设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为( )

admin2019-03-11 40

问题设A为4×3矩阵，η₁，η₂，η₃是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k₁，k₂为任意常数，则Ax=β的通解为( )

选项 A、
B、
C、
D、

答案C

解析首先，由A[1／2(η₂+η₃)]=β，知1／2(η₂+η₃)是Ax=β的一个特解；其次，由解的性质或直接验证，知η₂－η₁及η₃－η₁均为方程组Ax=0的解；再次，由η₁，η₂，η₃线性无关，利用线性无关的定义，或由
[η₂－η₁，η₃－η₁]

及矩阵

的秩为2，知向量组η₂－η₁，η₃－η₁，线性无关，因此，方程组Ax=0至少有2个线性无关的解，但它不可能有3个线性无关的解(否则，3－r(A)=3，

r(A)=0．

A=O，这与Aη₁=β≠0矛盾)，于是η₂－η₁，η₃－η₁可作为Ax=0的基础解系，Ax=0的通解为k₁(η₂－η₁)+k₂(η₃－η₁)，再由非齐次线性方程组解的结构定理即知只有选项C正确．

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考研数学三

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