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[2011年] 设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组AX=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则AX=β的通解为( )．
[2011年] 设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组AX=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则AX=β的通解为( )．
admin
2019-04-15
36
问题
[2011年] 设A为4×3矩阵，η
1
，η
2
，η
3
是非齐次线性方程组AX=β的3个线性无关的解，k
1
，k
2
为任意常数，则AX=β的通解为( )．
选项
A、(η
2
+η
3
)／2+k
1
(η
2
－η
1
)
B、(η
2
－η
3
)／2+k
1
(η
2
－η
1
)
C、(η
2
+η
3
)／2+k
1
(η
2
－η
1
)+k
2
(η
3
－η
1
)
D、(η
2
－η
3
)／2+k
1
(η
2
－η
1
)+k
2
(η
3
－η
1
)
答案
C
解析
解一 仅(C)入选．因n元非齐次线性方程组AX=b的线性无关的解向量最多的个数为n－秩(A)+1，故3－秩(A)+1≥3，即秩(A)≤1．又秩(A)≥1(如秩(A)=0，则A=0与AX=β≠0矛盾)，故秩(A)=1，所以AX=0的一个基础解系含n－秩(A)=3=1－2个解向量，而η
3
－η
1
，η
2
－η
1
均为AX=0的非零解，因而它们为AX=0的基础解系．又(η
2
+η
3
)／2中的系数1／2+1／2=1．由命题2．4．4．1知，(η
2
+η
3
)／1为AX=β的一特解．于是AX=β的通解为
(η
2
+η
3
)／2+k
1
(η
2
－η
1
)+k
2
(η
3
－η
1
)．
解二 由非齐次线性方程组AX=B通解的结构(该方程组的一特解加上对应齐次线性方程组AX=0的基础解系)可分别排除选项(A)、(B)、(D)．事实上，(B)、(D)中的
为AX=0的解，不是AX=B的特解，可排除(B)、(D)．又因AX=0的解η
2
－η
1
，η
3
－η
1
线性无关，故AX=0的基础解系至少包含2个解向量，从而排除(A)．仅(C)入选．
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/JFBRFFFM
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考研数学三
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