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[2006年] 函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是( )．

admin2019-05-10  28
问题 [2006年]  函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是(    )．
选项 A、y＂－y′－2y=3xex
B、y＂－y′－2y=3ex
C、y＂+y′－2y=3xex
D、y＂+y′－2y=3ex
答案D
解析  由所给的通解看出特征根，构造出特征方程，写出对应的齐次微分方程．再由通解中的特解xex确定非齐次方程中的自由项．
解一  由Y的结构形式易知，对应的齐次微分方程的特征方程有两个特征根r1=l，r2=一2，
因而特征方程为(r+2)(r一1)=r2+r－2=0，于是对应的齐次方程为y＂+y′－2y=0，排除(A)、(B)．由xex为非齐次方程的特解，易求得非齐次项f(x)=3ex．因而仅(D)入选．
解二  先由y=C1ex+C2e-2x+xex，求出y′及y＂：
    y′=C1ex一2C2e-2x+(x+1)ex，  y＂=C1ex+4C2e-2x+(x+2)ex，
则  y＂+y′=2C1ex+2C2e-2x+2(x+1)ex+ex=2(C1ex+C2e-2x+xex)+3ex=2y+3ex，
即y＂+y′一2y=3ex．仅(D)入选．
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考研数学二

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