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设有方程yˊ+P(x)y=x2,其中P(x)=,试求在(-∞,+∞)内的连续函数y=y(x),使之在(-∞,1)和(1,+∞)内都满足方程,且满足初值条件y(0)=2.
设有方程yˊ+P(x)y=x2,其中P(x)=,试求在(-∞,+∞)内的连续函数y=y(x),使之在(-∞,1)和(1,+∞)内都满足方程,且满足初值条件y(0)=2.
admin
2016-09-13
57
问题
设有方程yˊ+P(x)y=x
2
,其中P(x)=
,试求在(-∞,+∞)内的连续函数y=y(x),使之在(-∞,1)和(1,+∞)内都满足方程,且满足初值条件y(0)=2.
选项
答案
本题虽是基础题,但其特色在于当z的取值范围不同时,系数P(x)不同,这样所求解的方程就不一样,解的形式自然也会不一样,最后要根据解y=y(x)是连续函数,确定任意常数. 当x≤1时,方程及其初值条件为[*]求解得 y=e
-∫1dx
(∫x
2
e
∫1dx
dx+C)=e
-x
(∫x
2
e
x
dx+C)=x
2
-2x+2+Ce
-x
. 由y(0)=2得C=0,故y=x
2
-2x+2. 当x>1时,方程为yˊ+[*]y=x
2
,求解得 [*] 综上,得 [*] 又y(x)在(-∞,+∞)内连续,有f(1
-
)=f(1
+
)=f(1),即1-2+2=[*]+C,从而C=[*]. 所以 [*]
解析
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考研数学三
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