求使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数a和最小的数β

admin2016-09-13 27

问题求使不等式

对所有的自然数n都成立的最大的数a和最小的数β

选项

答案已知不等式等价于(n+α)ln(1+[*])≤1≤(n+β)ln(1+[*])．即 α≤[*]－n≤β 令f(x)=[*]，x∈(0，1]，则 [*] 令g(x)=(1+x)ln²(1+x)－x²，x∈[0，1]，则g(0)=0，且 gˊ(x)=ln²(1+x)+21n(1+x)－2x，gˊ(0)=0， [*] 故gˊ(x)在[0，1]上严格单调递减，所以gˊ(x)＜gˊ(0)=0．同理，g(x)在[0，1]上也严格单调递减，故g(x)＜g(0)=0，即(1+x)ln²(1+x)－x²＜0，从而fˊ(x)＜0(0＜x≤1)，因此f(x)在(0，1]上也严格单调递减．令x=[*]，则α≤f(x)≤β，有 [*] 故使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α为[*]－1，最小的数β为[*]

解析

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