2. 考研
  3. 设A，B为n阶矩阵，下列命题成立的是( )．

设A，B为n阶矩阵，下列命题成立的是( )．

admin2019-08-26  33
问题 设A，B为n阶矩阵，下列命题成立的是(    )．
选项 A、A与B均不可逆的充要条件是AB不可逆
B、R(A)﹤n与R(B)﹤n均成立的充要条件是R(AB)﹤n
C、Ax=0与Bx=0同解的充要条件是A与B等价
D、A与B相似的充要条件是E—A与E—B相似
答案D
解析 【思路探索】通过举反例排除(A)、(B)、(C)．
解：(A)与(B)类似，故均错误，而(C)仅是必要而非充分条件，故应选(D)．
事实上，若A～B，则由相似矩阵的性质知E—A～E—B；
反之，若E—A～E—B，则E—(E—A)～E—(E—B)，即A～B．
对于选项(A)，若A与B均不可逆，则| A |—| B|=0，从而|AB |—| A | | B|=0，即AB不可逆，但若AB不可逆，推出A与B均不可逆，如A=E，B=，则AB=B不可逆，但A可逆．
对于选项(B)，与选项(A)相近，由于R(AB)≤min{R(A)，R(B)}，故若R(A)B=，则R(AB)=R(B)=1<2，但R(A)=2．
对于选项(C)，由同型矩阵A与B等价?R(A)=R(B)可知，若Ax=0与Bx=0同解，则A与B等价；但反之不然，如，则A，B等价，但Ax=0与Bx=0显然不同解．
故应选(D)．
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考研数学三

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