设α=(1,—1,a)T,β=(1,a,2)T,A=E+αβT,且λ=3是矩阵A的特征值,则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是________。

admin2019-03-23  37

问题 设α=(1,—1,a)T,β=(1,a,2)T,A=E+αβT,且λ=3是矩阵A的特征值,则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是________。

选项

答案k(1,—1,1)T,k≠0

解析 令B=αβT,那么可知矩阵B的秩是1,且βTα=a+1,因此Bα=αβTα=(a+1)α,由此可知矩阵B的特征值为a+1,0,0,那么A=E+B的特征值为a+2,1,1。
又因为λ=3是矩阵A的特征值,因此1+(a+1)=3,可得a=1。于是有Bα=2α。
α=k(1,—1,1)T(k≠0),是矩阵B属于特征值λ=2的特征向量,也就是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。
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