设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3． (1)证明β，Aβ，A2β线性无关； (2)若A3β=Aβ，求秩r(A－E)及行列式｜A+2E｜．

admin2018-09-25 29

问题设A为3阶矩阵，λ₁，λ₂，λ₃是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α₁，α₂，α₃，令β=α₁+α₂+α₃．
(1)证明β，Aβ，A²β线性无关；
(2)若A³β=Aβ，求秩r(A－E)及行列式｜A+2E｜．

选项

答案(1)设 k₁β+k₂Aβ+k₃A²β=0，由题设有Aα_i=λ_iα_i(i=1，2，3)，于是 Aβ=Aα₁+Aα₂+Aα₃=λ₁α₁+λ₂α₂+λ₃α₃， A²β=λ₁²α₁+λ₂²α₂+λ₃²α₃，代入(*)式整理得 (k₁+k₂λ₁+k₃λ₁²)α₁+(k₁+k₂λ₂+k₃λ₂²)α₂+(k₁+k₂λ₃+k₃λ₃²)α₃=0．因为α₁，α₂，α₃是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有 [*] 其系数行列式 [*] 必有k₁=k₂=k₃=0，故β，Aβ，A²β线性无关． (2)由A³β=Aβ有 A[β，Aβ，A²β]=[Aβ，A²β，A³β]=[Aβ，A²β，Aβ]=[β，Aβ，A²β] [*] 令P=[β，Aβ，A²β]，则P可逆，且 [*]

解析

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考研数学一

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设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3． (1)证明β，Aβ，A2β线性无关； (2)若A3β=Aβ，求秩r(A－E)及行列式｜A+2E｜．

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已知α1=(1，一1，1)T，α2=(1，t，一1)T，α3=(t，1，2)T，β=(4，t2，一4)T，若β可以由α1，α2，α3线性表出且表示法不唯一，求t及β的表达式．

设n(n≥3)阶矩阵A=，如伴随矩阵A的秩r(A)=1，则a为

求区域Ω的体积V．其中Ω：由z=xy，x2+y2=a2，z=0围成．

求下列三重积分：(Ⅰ)I=(x2+y2)dV，其中Ω由z=16(x2+y2)，z=4(x2+y2)，z=16围成；(Ⅱ)I=dV，其中Ω由x2+y2+z2≤2z所确定；(Ⅲ)I=xyzdV，其中Ω：x2+y2+z2≤1位于第一卦限的部分．

求I=(x2+y2+z2)dS，其中(Ⅰ)S：x2+y2+z2=2Rx；(Ⅱ)S：(x－a)2+(y－b)2+(z－c)2=R2．

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．(Ⅰ)求矩阵A的特征值；(Ⅱ)求可逆矩阵P使P－1AP=A．

已知矩阵A=有两个线性无关的特征向量，则a=__________．

求解下列方程：(Ⅰ)求方程xy″=y′lny′的通解；(Ⅱ)求yy″=2(y′2－y′)满足初始条件y(0)=1，y′(0)=2的特解．

设f(x)=又设f(x)展开的正弦级数为S(x)=则S(3)=()．

国家重点保护的野生药材物种分为

其他货币资金包括(　　)。

“进出口货物征免税证明”的有效期为6个月，如果一批特定减免税货物需要分两个口岸进口，或者分两次进口的，持证人应当事先分别申领征免税证明。

国家对档案工作进行管理的行政体制称为档案工作的()。

()是儿童健全发展的重要组成部分，它与体格发展、认知发展共同构成儿童发展的三大方面。

有人对“不到长城非好汉”这句名言的理解是：“如果不到长城，就不是好汉。”假定这种理解为真，则下列哪项判断必然为真?()

Europe,wheretheso-calledpopulationexplosiongotunderwayinthe18thcentury,isonceagainplayingapioneeringroleind

设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3． (1)证明β，Aβ，A2β线性无关； (2)若A3β=Aβ，求秩r(A－E)及行列式｜A+2E｜．

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已知α1=(1，一1，1)T，α2=(1，t，一1)T，α3=(t，1，2)T，β=(4，t2，一4)T，若β可以由α1，α2，α3线性表出且表示法不唯一，求t及β的表达式．

设n(n≥3)阶矩阵A=，如伴随矩阵A*的秩r(A*)=1，则a为

求区域Ω的体积V．其中Ω：由z=xy，x2+y2=a2，z=0围成．

求下列三重积分：(Ⅰ)I=(x2+y2)dV，其中Ω由z=16(x2+y2)，z=4(x2+y2)，z=16围成；(Ⅱ)I=dV，其中Ω由x2+y2+z2≤2z所确定；(Ⅲ)I=xyzdV，其中Ω：x2+y2+z2≤1位于第一卦限的部分．

求I=(x2+y2+z2)dS，其中(Ⅰ)S：x2+y2+z2=2Rx；(Ⅱ)S：(x－a)2+(y－b)2+(z－c)2=R2．

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．(Ⅰ)求矩阵A的特征值；(Ⅱ)求可逆矩阵P使P－1AP=A．

已知矩阵A=有两个线性无关的特征向量，则a=__________．

求解下列方程：(Ⅰ)求方程xy″=y′lny′的通解；(Ⅱ)求yy″=2(y′2－y′)满足初始条件y(0)=1，y′(0)=2的特解．

设f(x)=又设f(x)展开的正弦级数为S(x)=则S(3)=()．

国家重点保护的野生药材物种分为

其他货币资金包括( )。

“进出口货物征免税证明”的有效期为6个月，如果一批特定减免税货物需要分两个口岸进口，或者分两次进口的，持证人应当事先分别申领征免税证明。

国家对档案工作进行管理的行政体制称为档案工作的()。

()是儿童健全发展的重要组成部分，它与体格发展、认知发展共同构成儿童发展的三大方面。

有人对“不到长城非好汉”这句名言的理解是：“如果不到长城，就不是好汉。”假定这种理解为真，则下列哪项判断必然为真?()

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设n(n≥3)阶矩阵A=，如伴随矩阵A的秩r(A)=1，则a为

其他货币资金包括(　　)。