2. 考研
  3. (Ⅰ)设Ф(χ)在[a，b]二阶可导，Ф〞(χ)≤0，在[a，b]的子区间上Ф〞(χ)≠0，又Ф(a)＝Ф(b)＝0，求证Ф(χ)＞0(χ∈(a，b))． (Ⅱ)设f(χ)在[0，1]上可导，且f(χ)≥0，f′(χ)＜0． 求证：函数F(

(Ⅰ)设Ф(χ)在[a，b]二阶可导，Ф〞(χ)≤0，在[a，b]的子区间上Ф〞(χ)≠0，又Ф(a)＝Ф(b)＝0，求证Ф(χ)＞0(χ∈(a，b))． (Ⅱ)设f(χ)在[0，1]上可导，且f(χ)≥0，f′(χ)＜0． 求证：函数F(

admin2019-07-19  18
问题 (Ⅰ)设Ф(χ)在[a，b]二阶可导，Ф〞(χ)≤0，在[a，b]的子区间上Ф〞(χ)≠0，又Ф(a)＝Ф(b)＝0，求证Ф(χ)＞0(χ∈(a，b))．
    (Ⅱ)设f(χ)在[0，1]上可导，且f(χ)≥0，f′(χ)＜0．
    求证：函数F(χ)＝∫0χf(t)dt满足
    χF(1)＜F(χ)＜2∫01F(t)dt，χ∈(0，1)．
选项
答案(Ⅰ)由罗尔定理知，[*]c∈(a，b)，Ф′(c)＝0．由Ф′(χ)在[a，b]↘， [*] [*](χ)在[a，c]↗，在[c，b]↘，[*] Ф(χ)＞Ф(a)＝0(a＜χ≤c)， Ф(χ)＞Ф(b)＝0(c≤χ＜b) 因此，Ф(χ)＞0(a＜χ＜b)． (Ⅱ)令Ф(χ)＝F(χ)－χF(1)，则Ф(χ)在[0，1]二阶可导，在[0，1]区间 Ф′(χ)＝f(χ)－F(1)，Ф〞(χ)＝f′(χ)＜0 且Ф(0)＝F(0)＝0，Ф(1)＝F(1)－F(1)＝0． 由题(Ⅰ)得 Ф(χ)＞0(χ∈(0，1)) 即F(χ)＞χF(1)(χ∈(0，1)) 将上式两边在[0，1]积分得 ∫01F(χ)dχ＞∫01χdχ.F(1)＝[*]F(1)． 由F(χ)在[0，1]单调上升，F(1)＞F(χ)(χ∈(0，1))[*] 2∫01F(χ)dχ＞F(1)＞F(χ)(χ∈(0，1))． [*]
解析
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考研数学一

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