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设线性方程组已知(1,一1,1,一1)T是该方程组的一个解. 试求: (1)方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解; (2)该方程组满足x2=x3的全部解.
设线性方程组已知(1,一1,1,一1)T是该方程组的一个解. 试求: (1)方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解; (2)该方程组满足x2=x3的全部解.
admin
2018-11-11
46
问题
设线性方程组
已知(1,一1,1,一1)
T
是该方程组的一个解.
试求:
(1)方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解;
(2)该方程组满足x
2
=x
3
的全部解.
选项
答案
将(1,一1,1,一1)
T
代入方程组的第一个方程,得λ=μ,对方程组的增广矩阵B施以初等行变换,得[*]于是r(A)=r(B)=3<4,故方程组有无穷多解,全部解为ξ=(1,一1,1,一1)
T
+k(一2,1,一1,2)
T
,其中后为任意常数. [*]于是r(A)=r(B)=2<4,故方程组有无穷多解,全部解为ξ=(1,一1,1,一1)
T
+k
1
(1,一3,1,0)
T
+k
2
(一1,一2,0,2)
T
,其中k
1
,k
2
为任意常数. (2)当[*]时,由于x
2
=x
3
,即一1+k=1一k,解得k=1,故方程组的解为ξ=(1,一1,1,一1)
T
+(一2,1,一1,2)
T
=(一1,0,0,1)
T
. 当[*]时,由于x
2
=x
3
,即一1一3k
1
一2k
2
=1+k
1
,解得k
2
=一2k
1
一1,故方程组的全部解为ξ=(2,1,1,一3)
T
+k
1
(3,1,1,一4)
T
,其中k
1
为任意常数.
解析
本题主要考查齐次、非齐次线性方程组的求解问题.将(1,一1,1,一1)
T
代入方程组,求出参数λ与μ的关系,于是化简为只具有一个参数的线性方程组的求解问题,用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形,然后对参数进行讨论,求出全部解.
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/IaWRFFFM
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考研数学二
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