设A是一个n阶方阵,满足A2=A,R(A)=s且A有两个不同的特征值. 试证A可对角化,并求对角阵A;

admin2019-08-27  20

问题 设A是一个n阶方阵,满足A2=A,R(A)=s且A有两个不同的特征值.
试证A可对角化,并求对角阵A;

选项

答案设λ是A的特征值,由于A2=A,所以λ2=λ,且A有两个不同的特征值,从而A的特征值为0和1. 又因为A2=A,即A(A-E)=O,故R(A)+R(A-E)=n.事实上,因为A(A-E)=O,所以R(A)+R(A-E)≤n. 另一方面,由于E-A与A-E的秩相同,则有 n=R(E)=R[(E-A)+A]≤R(A)+R(E-A)=R(A)+R(A-E), 从而R(A)+R(A-E)=n. 当λ=1时,因为R(A-E)=n-R(A)=n-s,从而齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系含有s个解向量,因此,A属于特征值1有s个线性无关特征向量,记为η1,η2,…,ηs. 当λ=0时,因为R(A)=s,从而齐次线性方程组(0?E-A)x=0的基础解系含n-s个解向量.因此,A属于特征值0有n-s个线性无关的特征向量,记为ηs+1,ηs+2,…,ηn. 于是η1,η2,…,ηn是A的n个线性无关的特征向量,所以A可对角化,并且对角阵为[*]

解析
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