设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导,且f’’(x)≥0,φ(x)是区间[a,b]上的非负连续函数,且∫abφ(x)dx=1. 证明:∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx].

admin2017-08-31  24

问题 设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导,且f’’(x)≥0,φ(x)是区间[a,b]上的非负连续函数,且∫abφ(x)dx=1.
证明:∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx].

选项

答案因为f’’(x)≥0,所以有f(x)≥f(x0)+f(x0)(x—x0),取x0=∫abxφ(x)dx,因为φ(x)≥0,所以aφ(x)≤xφ(x)≤bφ(x),又∫abφ(x)dx=1,于是有a≤∫abxφ(x)dx=x0≤b.把x0=∫abxφ(x)dx,代入f(x)≥f(x0)+f(x0)(x—x0)中,再由φ(x)≥0,得f(x)φ(x)≥f(x0)φ(x)+f(x0)[xφ(x)一x0φ(x)],上述不等式两边再在区间[a,b]上积分,得∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx].

解析
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